Respuesta :
La probabilidad de que ocurra una falla en menos de 100.000 horas es del 28,3%.
La probabilidad de no tener fallas en las próximas 500.000 horas es del 18,9%.
La probabilidad de que la próxima falla ocurra dentro de entre 200.000 y 350.000 horas es del 17,6%.
Tanto la media como la desviación estándar del tiempo entre fallas son de 300.000 horas.
Explicación:
En la distribución exponencial el parámetro es el inverso de la media:
[tex]\lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{300.000}[/tex]
La probabilidad de que la falla ocurra antes de un tiempo es el valor de la función distribución para ese tiempo.
Dicho esto pasamos a resolver:
a) La probabilidad de que ocurra una falla en menos de 100.000 horas es igual a:
[tex]P(X<100.000)=1-e^{-\lambda.x}=1-e^{-\frac{100.000}{300.000}}=0,283=28,3\%[/tex]
b) La probabilidad de que no haya fallas en las siguientes 500.000 horas es:
[tex]P(x>500.000)=1-P(x<500.000)=1-(1-e^{-\lambda.x})=e^{-\lambda.x}=e^{-\frac{500.000}{300.000}}\\\\P(x>500.000)=0,189=18,9\%[/tex]
c) Para hallar la probabilidad de que la siguiente falla ocurra entre 200.000 y 350.000 horas después es:
[tex]P(X>200.000)=e^{-\frac{200.000}{300.000}}=0,513\\\\P(X<350.000)=1-e^{-\frac{350.000}{300.000}}=0,689[/tex]
Como se trata de una función de distribución acumulada, tenemos que restar esos dos valores para hallar la probabilidad:
[tex]P(200.000<X<350.000)=0,689-0,513=0,176=17,6\%[/tex]
d) La media del tiempo entre fallas es igual a la media de la distribución, 300.000 horas. La desviación estándar en una distribución exponencial es igual a la media, por lo tanto en este caso es de 300.000 horas.