La gráfica tiene tangente horizontal en [tex]\theta=-\frac{\pi}{4}; \theta=\frac{\pi}{4}[/tex]
La gráfica tiene tangente vertical en [tex]\theta=0;\theta=\pi; \theta=-\frac{\pi}{2};\theta=\frac{\pi}{2}[/tex]
La gráfica tiene pendiente de -1 en
[tex]\theta=\frac{tan^{-1}(2)}{2}\\\\\theta=\pi+\frac{tan^{-1}(2)}{2}[/tex]
Explicación paso a paso:
Como la función está en coordenadas polares tenemos que hallar la expresión en coordenadas cartesianas para hallar la pendiente de la recta tangente que es [tex]\frac{dy}{dx}[/tex].
a) La función en coordenadas cartesianas es:
[tex]x=r.cos(\theta)=3.cos^2(\theta)\\y=r.sen(\theta)=3.cos(\theta).sen(\theta)\\\\sen(2\theta)=2.sen(\theta).cos(\theta)=>y=\frac{3}{2}sen(2\theta)[/tex]
Y la derivada es:
[tex]\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}=\frac{6.cos(2\theta)}{-6.cos(\theta).sen(\theta)}[/tex]
Para que la curva tenga tangente horizontal la derivada tiene que ser nula:
[tex]cos(2\theta)=0\\\\\theta=-\frac{\pi}{4}\\\theta=\frac{\pi}{4}[/tex]
b) para que la gráfica tenga recta tangente vertical tiene que ser [tex]\frac{dx}{dy}=0[/tex], es el inverso de la derivada anterior:
[tex]-\frac{cos(\theta).sen(\theta)}{cos(2\theta)}=0\\\\cos(\theta).sen(\theta)=0\\\\cos(\theta)=0=>\theta=-\frac{\pi}{2}; \theta=\frac{\pi}{2}\\\\sen(\theta)=0=>\theta=0; \theta =\pi[/tex]
c) Ahora tenemos que igualar la pendiente a -1:
[tex]\frac{dy}{dx}=-\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta).sen(\theta)}=-1\\\\\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta).sen(\theta)}=1\\\\sen(2\theta)=2cos(\theta).sen(\theta)=>2\frac{cos(2\theta)}{sen(2\theta)}=1\\\\\frac{sen(2\theta)}{cos(2\theta)}=2\\\\2\theta=tan^{-1}(2)\\\\\theta=\frac{tan^{-1}(2)}{2}\\\\\theta=\pi+\frac{tan^{-1}(2)}{2}[/tex]
Este último valor representa al ángulo del tercer cuadrante cuya tangente es 2.