Cuando un cuerpo cae y el peso del cuerpo se hace igual a la fuerza de resistencia del aire; la velocidad del cuerpo a partir de ese instante es:

a. La velocidad resultante.
b. La velocidad media.
c. La velocidad inicial.
d. La velocidad límite.

Al ser la densidad del aire pequeña, podemos despreciar el empuje frente al peso del cuerpo. La ecuación del movimiento de un cuerpo esférico de radio R y masa m es

mdvdt=mg−0.2ρfπR2v2

Se ha tomado la dirección positiva hacia abajo

A medida que el cuerpo cae, se incrementa la velocidad, la fuerza de rozamiento crece hasta que se iguala al peso. El cuerpo se mueve con velocidad constante denominada velocidad límite vT

v2T=mg0.2ρfπR2

La ecuación del movimiento se escribe

dvdt=g(1−v2v2T)

Integramos la ecuación diferencial con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, la velocidad del cuerpo es v0.

∫v0vdv1−v2/v2T=g∫0tdt∫v0v(121−v/vT+121+v/vT)dv=gtvT2ln1+v/vT1−v/vT∣∣vv0=gt1+v/vT1−v/vT=1+v0/vT1−v0/vTexp(2gt/vT)1+v/vT1−v/vT=exp(2gt/vT+2α)v=vTexp(gt/vT+α)−exp(−gt/vT−α)exp(gt/vT+α)+exp(−gt/vT−α)v=vTtanh(gt/vT+α)exp(2α)=1+v0/vT1−v0/vTv0vT=tanhαv=vTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))

Integramos de nuevo para calcular la posición del cuerpo que cae en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.

x=∫0tv⋅dt=∫0tvTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))⋅dt=∫tanhu⋅du=lncoshu+Cx=v2Tglncosh((gtvT)+tanh−1(v0vT))cosh(tanh−1(v0vT))cosh(u+α)coshα=exp(u+α)−exp(−u−α)exp(α)−exp(−α)=exp(u)⋅exp(2α)−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)⋅exp(−2α)exp(2α)−exp(−2α)==exp(u)1+v0/vT1−v0/vT−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)1−v0/vT1+v0/vT1+v0/vT1−v0/vT−1v0/vT1+v0/vT=(exp(u)−exp(−u))+v0vT(exp(u)+exp(−u))2v0vT=v0vTsinh(u)+cosh(u)x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))

Aproximaciones

Desarrollo en serie de la función x(t)

x(t)≈x(0)+dxdt∣∣t=0t+12!d2xdt2∣∣t=0t2+13!d3xdt3∣∣t=0t3+14!d4xdt4∣∣t=0t4+...x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))dxdt=v2Tggv0v2Tcosh(gtvT)+gvTsinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)=vTv0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)d2xdt2=g(1−v20v2T)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))2d3xdt3=−2g2vT(1−v20v2T)v0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))3d4xdt4=−2g3v2T(1−v20v2T)1−2sinh2(gtvT)−4v0vTsinh(gtvT)cosh(gtvT)−v20v2T(1+2cosh2(gtvT))(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))4x(t)≈v0t+12g(1−v20v2T)t2−g2v03v2T(1−v20v2T)t3−g312v2T(1+3v40v4T−4v20v2T)t4+...

Cuando el cuerpo se deja caer, v0=0, parte del reposo

x(t)≈12gt2−g312v2Tt4+...

Referencias

Lindemuth J. The effect o fair resistance on falling balls. Am. J. Phys. 39, July 1971, pp. 757-759

Explicación:

Roxanapantojago Roxanapantojago · Answer 2

Roxanapantojago Roxanapantojago

Respuesta:

según la cabezita de alguien , es la velocidad de límite

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