Al determinar el centroide de la lámina plana de densidad uniforme se obtiene:
Centriode = (0, -1/2)
Explicación paso a paso:
Datos;
Determinar el centroide de una lámina plana de densidad uniforme ρ.
f(x) = -x²+4
g(x) = x²-5
¿Cuál será el centroide de esta lámina plana?
Centriode:
X = My/A
Y = Mx/A
Siendo;
[tex]A=\int\limits^b_a {f(x)-g(x)} \, dx[/tex]
[tex]My= \int\limits^b_a {x[f(x)-g(x)]} \, dx[/tex]
[tex]Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[(f(x))^{2}-(g(x))^{2} ]} \, dx[/tex]
Igualar las funciones para determinar la intersección;
f(x) =g(x)
-x²+4 = x²-5
2x²= 4 + 5
x² = 9/2
x = √(9/2) ⇒ x = ±2.12
[a, b] = (-2.12; 2.12)
Calcular A;
Sustituir;
[tex]A=\int\limits^b_a {[(-x^{2} +4)-(x^{2} -5)]} \, dx\\A=\int\limits^b_a {-x^{2} +4-x^{2} +5} \, dx\\A=\int\limits^b_a {-2x^{2} +9} \, dx\\A =( -\frac{2}{3}x^{3} +9x)^b_a[/tex]
A = 25.5 u²
Calcular Mx;
[tex]Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[(-x^{2} +4)^{2}-(x^{2} -5)^{2} ]} \, \\Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[x^{4} -8x^{2}+16-x^{4} +10x^{2} -25 ]} \, dx\\Mx=\frac{1}{2} \int\limits^b_a {[2x^{2}-9 ]} \, dx\\Mx=\frac{1}{2} [\frac{2}{3} x^{3}-9x ]^b_a\\[/tex]
Mx = -12.73
Calcular My;
[tex]My= \int\limits^b_a {x[-x^{2} +4-x^{2} +5]} \, dx\\My= \int\limits^b_a {x[-2x^{2} +9]} \, dx\\My= \int\limits^b_a {[-2x^{3} +9x]} \, dx\\My= [-\frac{1}{2} x^{4} +\frac{9}{2} x^{2}]^b_a[/tex]
My = 0
Sustituir;
X = 0/25.5 ⇒ X = 0
Y = -12.73/25.5 ⇒ Y = -0.5
Centriode = (0, -1/2)
