Respuesta:
[tex]5<\sqrt{26}<6\qquad2<\sqrt[5]{36}<3\qquad 7<\sqrt{54}<8[/tex]
[tex]8<\sqrt{75}<9\qquad9<\sqrt{83}<10\qquad 2<\sqrt[4]{68}<3[/tex]
Explicación paso a paso:
Si queremos acotar una raíz entre dos números naturales m y n podemos transformar el problema de esto:
[tex]m<\sqrt x<n[/tex]
a esto:
[tex]m^2<x<n^2[/tex]
elevando cada miembro de la relación al cuadrado.
Hacer esto hace más sencillo encontrar estos m y n ya que estamos más familiarizados con las potencias que con las raíces.
De la misma manera:
[tex]m<\sqrt[5] x<n \to m^5<x<n^5[/tex]
[tex]m<\sqrt[4] x<n \to m^4<x<n^4[/tex]
Entonces encontrar m y n tales que [tex]m<\sqrt[] {26}<n[/tex] se convierte en encontrar m y n tales que [tex]m^2<26<n^2[/tex]. Recordando los cuadrados perfectos vemos que para m=5 y n=6 se cumple la relación. Por lo tanto [tex]5<\sqrt[] {26}<6[/tex]
Al encontrar m y n tales que [tex]m<\sqrt[5] {36}<n[/tex] buscamos en su lugar m y n tales que [tex]m^5<36<n^5[/tex]. Ahora:
[tex]1^5=1\\2^5=32\\3^5=243[/tex]
de aquí observamos que [tex]2^5<36<3^5[/tex] por lo tanto [tex]2<\sqrt[5] {36}<3[/tex].
De manera similar procedemos con los otros.
