a) El bosquejo del problema se encuentra en el archivo adjunto
b) La distancia que separa a los estudiantes es √65 unidades o de aproximadamente 8.06 unidades. Siendo la pendiente de la recta de J. H. Velarde igual a 1/8
c) La ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{8} \ x\ + \frac{3}{2}} }[/tex]
d) La ecuación general de la recta que contiene a la Av. Arequipa está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { 8x+ y+31 = 0}}[/tex]
b) Determinamos la distancia entre los estudiantes y la pendiente de la recta de J. Hernán Velarde
b-1) Distancia entre estudiantes
[tex]\large\boxed{\bold { A (-4,1 ) \ \ \ B( 4 , 2) } }[/tex]
Empleamos la fórmula de la distancia
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{( 4 -(-4) )^{2} +( 2-1 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{( 4 +4)^{2} +( 2-1 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{8^{2} +1^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Distancia\ \overline{AB} = \sqrt{64 +1 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia \ \overline{AB} = \sqrt{65 } \ unidades } }[/tex]
b-2) Pendiente de la recta de J H Velarde
La pendiente de una recta se representa mediante la letra “m”
Si contamos con 2 puntos que conforman la recta, podemos obtener la pendiente del segmento de recta
La pendiente está dada por
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 2-(1) }{ 4 -(-4) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 2-1 }{ 4 +4 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{1}{8} }}[/tex]
c) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B
[tex]\bold{m = \frac{1}{8} }[/tex]
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{8} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { A (-4,1) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (1) = \frac{1}{8} \ . \ (x - (-4) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -1 = \frac{1}{8} \ . \ (x +4 )}}[/tex]
En la forma pendiente intercepción
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y -1 = \frac{1}{8} \ . \ (x +4 )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -1 = \frac{x}{8} \ + \frac{4}{8} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -1 = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2}+ 1 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{1}{2}+ \frac{2}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{x}{8} \ + \frac{3}{2}} }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{8} \ x\ + \frac{3}{2}} }[/tex]
d) Hallamos la ecuación de la recta que contiene a la Av. Arequipa, sabiendo que es perpendicular a la recta de la calle Velarde
Determinamos la pendiente de una recta perpendicular para la recta que contiene a la Av. Arequipa
Denotaremos a la pendiente de la recta de la calle Velarde como [tex]\bold { m }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo
En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ m } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} =- \frac{ 1 }{ \frac{1}{8} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{1} =- 1 \ . \ 8 } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =-8 } }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular a Velarde es -8, o lo que es lo mismo la pendiente de la Av. Arequipa es -8
Hallamos la ecuación de la recta que contiene a la Av, Arequipa que pasa por el punto A (-4, 1)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { - 8 } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { A (-4,1) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (1) = -8\ . \ (x - (-4) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - 1 = -8\ . \ (x +4 )}}[/tex]
En la forma pendiente intercepción
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y - 1 = -8\ . \ (x +4 )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - 1 = -8x -32}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y= -8x -32+1}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y= -8x -31}}[/tex]
En en la forma general de la recta:
Que responde a la forma
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y= -8x -31}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 8x+ y= -31}}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 8x+ y+31 = 0}}[/tex]
