Se sabe que el campo eléctrico en un punto no es más que el negativo del gradiente del potencial. Esto es:
[tex]\vec{E}=- \nabla V[/tex]
Que podemos escribir en términos de las derivadas parciales como:
[tex]\vec{E} = -\left(\dfrac{\partial V \:}{\partial \:x},\dfrac{\partial V \:}{\partial \:y},\dfrac{\partial V \:}{\partial \:z}\right)[/tex]
Hallemos cada una de las derivadas:
[tex]\dfrac{\partial V \:}{\partial \:x}=\dfrac{\partial \:}{\partial \:x}\left(x^2+y^2+3z^2\right) = 2x[/tex]
[tex]\dfrac{\partial V \:}{\partial \:y}=\dfrac{\partial \:}{\partial \:y}\left(x^2+y^2+3z^2\right) = 2y[/tex]
[tex]\dfrac{\partial V \:}{\partial \:z}=\dfrac{\partial \:}{\partial \:z}\left(x^2+y^2+3z^2\right) = 6z[/tex]
Por tanto nos queda:
[tex]\vec{E} = -\left(2x,2y,6z)[/tex]
Evaluando el punto (1,2,1):
[tex]\vec{E} = -\left(2\cdot 1,2\cdot 2,6\cdot 1)[/tex]
[tex]\vec{E} = -\left(2,4,6)[/tex]
[tex]\boxed{\vec{E} = \left(-2,-4,-6)\ \ \ N/C}[/tex]
Si quisieramos encontrar su magnitud simplemente hallamos la norma del vector en ese punto:
[tex]|\vec{E}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-6)^2}[/tex]
[tex]|\vec{E}| = \sqrt{4+16+36}[/tex]
[tex]|\vec{E}| = \sqrt{56}[/tex]
[tex]|\vec{E}|=\sqrt{2^2\cdot \:2\cdot \:7}[/tex]
[tex]\boxed{|\vec{E}| = 2\sqrt{14}\ \ N/C\approx 7.48\ \ N/C}[/tex]
