Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de Blanca tenga la mayor área posible son: 10 metros en el lado paralelo a la casa y 5 metros en los laterales.
Explicación paso a paso:
La función objetivo es el área del espacio contiguo a la casa de Blanca.
Si llamamos
x = longitud del lado paralelo a la casa, en metros
h = longitud de los laterales, en metros
La función objetivo viene dada por:
Área = A = xh m²
Lo conveniente es que A esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos la longitud L de la cuerda que delimitará el espacio rectangular (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:
[tex]\bold{L~=~x~+~2h~=~20\qquad\Rightarrow\qquad h~=~\dfrac{20~-~x}{2}=~10~-~\dfrac{x}{2}}[/tex]
por tanto la función objetivo es
[tex]\bold{A~=~x[10~-~\dfrac{x}{2}]~=~10x~-~\dfrac{x^2}{2}}[/tex]
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.
[tex]\bold{A'~=~[10x~-~\dfrac{x^2}{2}]'~=~10~-~x}[/tex]
[tex]\bold{A'~=~0\qquad\Rightarrow\qquad 10~-~x~=~0\qquad\Rightarrow\qquad x~=~10}[/tex]
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
[tex]\bold{A''~=~[10~-~x]'~=~-1}[/tex]
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
[tex]\bold{A''_{(10)}~=~-1~<~0\qquad\Rightarrow\qquad x~=~10}[/tex]
es un máximo de la función A.
Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo del lateral h:
[tex]\bold{h~=~10~-~\dfrac{10}{2}\qquad\Rightarrow\qquad h~=~5}[/tex]
¿Cuáles serán las dimensiones de la superficie destinada para hacer ejercicios si debe tener la máxima área?
Las dimensiones necesarias para que el espacio contiguo a la casa de María tenga la mayor área posible son: 10 metros en el lado paralelo a la casa y 5 metros en los laterales.
¿Cuál será el área de dicho espacio?
A = (10)(5) = 50 m²
El área del espacio contiguo a la casa de Blanca será de 50 m².
