Respuesta :
a) La rapidez inicial del lanzamiento es de 18.43 metros por segundo (m/s)
b) El tiempo de vuelo es de 3.26 segundos
c) La altura máxima que alcanza el balón es de 13 metros
Solución
a) Rapidez inicial del balón
El alcance máximo de un proyectil está dado por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Despejamos la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} \ . \ g \ =( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {( V _{0})^{2}= \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta ) } }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ x_{max} \ . \ g \ }{ sen (2 \theta )} } }}[/tex]
[tex]\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 30 \ m \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } }{ sen (2 \ 60^o )} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ sen (120^o )} } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{ \frac{ 294 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } }{ \frac{\sqrt{3} }{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2}{\sqrt{3} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \left(\frac{2}{\sqrt{3} } \ .\ \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } \right)\ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^{2} } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{294 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{\not 3 \ . \ 98 \ . \ \frac{2\sqrt{3} }{\not3 } \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {V _{0}=\sqrt{196\sqrt{3} \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {V _{0}= 18.43 \ \frac{m }{s } }}[/tex]
b) Tiempo de vuelo
El tiempo de vuelo de un proyectil está dado por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
En el inciso anterior hallamos la velocidad inicial del lanzamiento
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (18.43 \ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36.86\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{9.8 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{36.86\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{2} } {9.8 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 18.43\ \ . \ \frac{ \sqrt{3} }{\not2} }{9.8 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 18.43\ . \sqrt{3} }{9.8 } \ segundos }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =3.25731 \ segundos }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =3.26 \ segundos }}[/tex]
c) Altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(18.43 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 9.8 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 19.6\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{339.6649\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 19.6\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1018.9947}{4} }{ 19.6\ } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{254.748965 }{19.6 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} = 12.9973\ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 13\ metros }}[/tex]
