Un cuerpo de 80 g está unido al extremo de un resorte horizontal, describiendo un movimiento armónico simple. Respondemos las preguntas.
Datos
A = 5 cm = 0.05 m
Ec_max = 2,5 x 10^-3
m = 80 g = 0.08 kg
a) La ecuación del movimiento del cuerpo unido al resorte viene dada:
x(t) = A*sen(ωt+Φ) (1)
El ángulo Φ se determina sabiendo que en t=0 el cuerpo pasa por su posición de equilibrio (x=0).
x(0) = A*sen(ω*0+Φ)
0 = A *sen(Φ)
Φ = 0
Para hallar ω primero determinamos la velocidad:
v(t) = dx(t)/dt
v(t) = ωA*cos(ωt+Φ)
Energía cinética:
Ec = (1/2)*m*v^2
Ec = (1/2)*m*(ωA)^2 * cos^2(ωt+Φ) (2)
La energía cinética máxima es el término que multiplica al coseno, sustituyendo se determina ω:
Ec_max = (1/2)*m*(ωA)^2
2,5 x 10^-3 = (1/2) * 0.08 *(ω*0.05)^2
ω = 5 rad/s
Sustituyendo A, ω y Φ en (1) se obtiene la ecuación de movimiento:
x(t) = 0.05 * sen(5t)
b) Energía cinética en función de la posición.
La energía cinética es según la ecuación (2):
Ec = 2,5 x 10^-3 * cos^2(5t)
Apliquemos una identidad trigonométrica y relacionemos con (1):
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-sen^2(5t)]
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-sen^2(5t)]
Ec = 2,5 x 10^-3 * [1-(x(t)/0.05)^2]
Ec = 0.025 - x(t)^2
La gráfica se muestra en la figura. La energía cinética es igual a la energía mecánica porque al ser el movimiento horizontal no hay energía potencial.
