Respuesta:
Mides con tu transportador un ángulo de 165∘ . ¿Cómo puedes encontrar el seno exacto de este ángulo sin usar una calculadora?
Guía
Ya sabes que sin30∘=12,cos135∘=−2–√2,tan300∘=−3–√, etc., de los triángulos rectángulos especiales. En esta sección, aprenderemos a cómo encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas para los ángulos que no sean lo múltiplos de 30∘,45∘, y 60∘ . Usando las Fórmulas de Suma y Resta, es posible encontrar esos valores trigonométricos exactos.
Fórmulas de Suma y Resta
sin(a±b)cos(a±b)tan(a±b)=sinacosb±cosasinb=cosacosb±sinasinb=tana±tanb1±tanatanb
Ejemplo A
Fórmulas de Suma y Resta sin75∘ .
Solución: Este es un ejemplo de cuando podemos usar la fórmula de suma del seno, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb , donde a=45∘ y b=30∘ .
sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=2–√2⋅3–√2+2–√2⋅12=6–√+2–√4
En general, sin(a+b)≠sina+sinb y otros enunciados similares se pueden hacer para otras fórmulas de suma y resta.
Ejemplo B
Encuentra el valor exacto de cos11π12 .
Solución: Para este ejemplo, podemos usar tanto la fórmula de suma del coseno como la fórmula de resta, 11π12=2π3+π4 o 11π12=7π6−π4 . Sumemos la fórmula.
cos11π12=cos(2π3+π4)=cos2π3cosπ4−sin2π3sinπ4=−12⋅2–√2−3–√2⋅2–√2=−2–√+6–√4
Ejemplo C
Encuentra el valor exacto de tan(−π12) .
Solución: Este ángulo es la diferencia entre π4 y π3 .
tan(π4−π3)=tanπ4−tanπ31+tanπ4tanπ3=1−3–√1+3–√
Este ángulo también es igual a 23π12 . Podrías haber usado este valor y haber desarrollado tan(π4+5π3) y, de igual manera, habrías llegado a la misma respuesta.
Revisi�n del Problema Introductorio
Podemos usar la fórmula de suma del seno, sin(a+b)=sinacosb+cosasinb , donde a=120∘ y b=45∘ .
sin165∘=sin(120∘+45∘)=sin120∘cos45∘+cos120∘sin45∘=3–√2⋅2–√2+−12⋅2–√2=6–√−2–√4
Práctica Guiada
Encuentra los valores exactos de:
1. cos15∘
2. tan255∘
Respuestas
1. cos15∘=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘−sin45∘sin30∘=2–√2⋅3–√2−2–√2⋅12=−6–√−2–√4
2. tan(210∘+45∘)=tan210∘+tan45∘1−tan210∘tan45∘=3√3+11−3√3=3√+333−3√3=3–√+33−3–√
Vocabulario
Fórmulas de Suma y Resta
sin(a±b)cos(a±b)tan(a±b)=sinacosb±cosasinb=cosacosb∓sinasinb=tana±tanb1∓tanatanb
Práctica
Encuentra el valor exacto para las funciones trigonométricas a continuación.
sin15∘
cos5π12
tan345∘
cos(−255∘)
sin13π12
sin17π12
cos15∘
tan(−15∘)
sin345∘
Explicación paso a paso:es la (a)
